Rumus Sn Deret Aritmatika dan Geometri Lengkap dengan Penurunan serta Contoh Soal

Liputan6.com, Jakarta Dalam pelajaran matematika, rumus Sn merupakan salah satu formula paling mendasar yang harus dikuasai ketika mempelajari materi barisan dan deret. Rumus ini digunakan untuk menghitung jumlah n suku pertama dari suatu deret, baik deret aritmatika maupun geometri.

Rumus penjumlahan deret aritmatika digunakan untuk menghitung jumlah seluruh suku yang ada dalam suatu barisan aritmatika. Memahami rumus Sn secara mendalam tidak hanya membantu mengerjakan soal ujian, tetapi juga membuka wawasan tentang bagaimana pola angka bekerja dalam kehidupan nyata.

Jumlah dari suatu barisan aritmatika hingga disebut deret aritmatika (arithmetic series). Menurut sebuah anekdot, Carl Friedrich Gauss menemukan kembali formula ini saat masih di sekolah dasar dengan cara mengelompokkan bilangan dari kedua ujung barisan menjadi pasangan-pasangan yang berjumlah sama, dan rumus serupa ternyata sudah dikenal sejak zaman kuno oleh Archimedes, Aryabhata, serta Brahmagupta.

Dilansir dari ChiliMath, formula jumlah parsial (partial sum) pada dasarnya merupakan hasil perkalian antara rata-rata suku pertama dan suku terakhir dengan jumlah total suku dalam barisan tersebut. Prinsip inilah yang menjadi dasar kerja rumus Sn hingga saat ini.

Sebelum masuk ke perhitungan, penting untuk memahami terlebih dahulu apa sebenarnya Sn dalam konteks matematika. Kita dapat menghitung jumlah seluruh suku dalam barisan aritmatika menggunakan rumus penjumlahan deret aritmatika. Notasi Sn sendiri berasal dari kata sum yang berarti jumlah, dan n menunjukkan banyaknya suku yang dijumlahkan. Konsep ini berlaku baik untuk pola bilangan aritmatika maupun geometri.

Deret aritmatika pada dasarnya merupakan penjumlahan suku-suku dari barisan aritmatika, dan jumlah n suku pertamanya disebut sebagai jumlah parsial (partial sum) yang dilambangkan dengan Sn. Dalam barisan aritmatika, setiap suku didapat dari penambahan nilai tetap yang disebut beda (b). Sementara pada barisan geometri, setiap suku diperoleh dari perkalian dengan rasio tetap (r).

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan di mana setiap suku berikutnya merupakan penjumlahan dari suku sebelumnya dengan suatu konstanta d. Dari sinilah muncul kebutuhan untuk merumuskan cara cepat menghitung jumlah seluruh suku tanpa harus menjumlahkan satu per satu. Komponen utama yang perlu diketahui dalam penggunaan rumus Sn meliputi suku pertama (a), beda atau rasio (b/r), jumlah suku (n), dan suku ke-n (Un).

Pemahaman konsep dasar ini menjadi kunci sebelum melangkah ke penggunaan rumus. Semakin kuat fondasi tentang pengertian Sn, semakin mudah menyelesaikan berbagai variasi soal yang sering muncul dalam ujian akademik maupun tes masuk perguruan tinggi.

Deret aritmatika merupakan penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Terdapat dua metode untuk menghitung jumlah deret aritmatika. Kedua rumus ini dapat digunakan bergantian sesuai informasi yang tersedia pada soal. Berikut dua rumus Sn deret aritmatika beserta komponen-komponennya.

Rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika adalah Sn = n/2 x (2a + (n - 1)d), dan jika suku terakhir (an) diketahui, rumusnya menjadi Sn = n/2 x (a + an).

Rumus 1 - Jika suku terakhir belum diketahui:

Sn = n/2 x (2a + (n - 1) x b)

Rumus 2 - Jika suku terakhir (Un) sudah diketahui:

Sn = n/2 x (a + Un)

Keterangan:

• Sn = jumlah n suku pertama
• a = suku pertama
• b = beda (selisih antar dua suku berurutan)
• n = banyaknya suku
• Un = suku ke-n

Proses penurunan rumus Sn deret aritmatika dilakukan melalui langkah-langkah berikut:

1. Langkah 1: Tuliskan deret dari depan ke belakang, yaitu Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n-1)b).
2. Langkah 2: Tuliskan kembali deret dari belakang ke depan, yaitu Sn = Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + (Un - (n-1)b).
3. Langkah 3: Jumlahkan kedua persamaan tersebut sehingga diperoleh 2Sn = n(a + Un), kemudian Sn = n(a + Un)/2.
4. Langkah 4: Substitusikan Un = a + (n-1)b ke dalam rumus sehingga diperoleh Sn = n/2 x (2a + (n-1)b).

Metode penurunan ini pertama kali dipopulerkan melalui kisah legendaris Carl Friedrich Gauss. Gauss menggunakan metode ini untuk menjumlahkan seluruh bilangan dari 1 sampai 100 dengan cara memasangkan bilangan dari kedua ujung, sehingga ia mendapatkan 50 pasangan yang masing-masing berjumlah 101, dan hasilnya adalah 5.050.

Baca juga: Linear Adalah Garis Lurus dalam Matematika, Ketahui Rumus dan Persamaannya

Selain deret aritmatika, rumus Sn juga diterapkan pada deret geometri. Rumus penjumlahan geometri digunakan untuk menghitung jumlah seluruh suku dalam barisan geometri. Berbeda dengan aritmatika yang menggunakan selisih tetap, deret geometri bekerja berdasarkan rasio tetap antar dua suku berurutan. Pemahaman tentang rumus Sn geometri sangat penting terutama untuk soal-soal matematika tingkat lanjut dan aplikasi keuangan.

Jumlah n suku pertama barisan geometri diberikan oleh rumus Sn = a1 x (1 - r^n) / (1 - r), dengan syarat r tidak sama dengan 1. Terdapat dua versi rumus Sn geometri yang digunakan tergantung pada nilai rasio:

Jika r kurang dari 1:

Sn = a x (1 - r^n) / (1 - r)

Jika r lebih dari 1:

Sn = a x (r^n - 1) / (r - 1)

Keterangan:

• Sn = jumlah n suku pertama deret geometri
• a = suku pertama
• r = rasio (perbandingan dua suku berurutan)
• n = banyaknya suku

Penurunan rumus ini dilakukan dengan cara mengalikan seluruh deret dengan rasio r, lalu mengurangkan hasil perkalian tersebut dari deret aslinya. Dimulai dengan menuliskan Sn = a1 + a1.r + a1.r^2 + ... + a1.r^(n-1), kemudian mengalikan kedua sisi dengan r untuk memperoleh r.Sn, lalu mengurangkan keduanya sehingga didapat Sn - r.Sn = a1 - a1.r^n, dan akhirnya menyelesaikan persamaan untuk mendapatkan rumus Sn.

Untuk deret geometri tak hingga dengan nilai mutlak rasio kurang dari 1, jumlahnya dinyatakan sebagai S = a1 / (1 - r). Konsep ini banyak diterapkan dalam berbagai topik matematika termasuk perhitungan keuangan seperti bunga majemuk dan anuitas. Dalam matematika keuangan dan aktuaria, deret geometri diterapkan pada konsep nilai waktu uang, yakni untuk merepresentasikan nilai sekarang dari anuitas perpetual.

Banyak siswa yang kerap tertukar ketika mengerjakan soal barisan dan deret. Memahami perbedaan mendasar antara rumus Sn aritmatika dan geometri sangat krusial agar tidak salah pilih formula. Seperti yang diungkapkan Math is Fun, barisan aritmatika terkadang disebut juga progresi aritmatika (A.P.), dan deret adalah apa yang diperoleh ketika suku-suku suatu barisan dijumlahkan.

Berikut perbedaan utama antara kedua jenis deret tersebut:

1. Dasar operasi: Deret aritmatika menggunakan penjumlahan atau pengurangan antar suku, sedangkan deret geometri menggunakan perkalian atau pembagian.
2. Konstanta: Aritmatika memiliki beda (b) yang tetap, sedangkan geometri memiliki rasio (r) yang tetap.
3. Rumus Un: Pada aritmatika, Un = a + (n-1)b. Pada geometri, Un = a x r^(n-1).
4. Rumus Sn: Aritmatika menggunakan Sn = n/2 x (2a + (n-1)b), sementara geometri menggunakan Sn = a x (1 - r^n) / (1 - r).
5. Pola pertumbuhan: Aritmatika menunjukkan pertumbuhan linear, sedangkan geometri menunjukkan pertumbuhan eksponensial.
6. Contoh barisan: Aritmatika misalnya 2, 5, 8, 11 (beda = 3). Geometri misalnya 2, 6, 18, 54 (rasio = 3).
7. Hubungan unik: Setiap suku dalam deret geometri merupakan rata-rata geometris dari suku sebelum dan sesudahnya, sebagaimana setiap suku dalam deret aritmatika merupakan rata-rata aritmatika dari suku-suku tetangganya.

Kemampuan membedakan kedua jenis deret ini akan sangat membantu saat mengerjakan soal pelajaran matematika di sekolah maupun ujian masuk perguruan tinggi. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi apakah barisan yang diberikan memiliki selisih tetap (aritmatika) atau rasio tetap (geometri).

Baca juga: Jenis Segitiga, Rumus, dan Gambarnya dalam Pelajaran Matematika

Berlatih mengerjakan contoh soal adalah cara terbaik untuk menguasai rumus Sn. Saat menggunakan rumus ini, kita perlu mengidentifikasi nilai n, a, dan d dari soal, lalu memasukkan angka-angka tersebut ke dalam rumus dan menghitung hasilnya. Berikut beberapa contoh soal beserta pembahasan lengkapnya.

Soal 1: Rumus Sn Aritmatika (Dasar)

Hitunglah jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, ...

Pembahasan:

• Diketahui: a = 3, b = 4 (karena 7 - 3 = 4), n = 10
• Sn = n/2 x (2a + (n - 1) x b)
• S10 = 10/2 x (2(3) + (10 - 1) x 4)
• S10 = 5 x (6 + 36)
• S10 = 5 x 42 = 210

Jadi, jumlah 10 suku pertama barisan tersebut adalah 210.

Soal 2: Rumus Sn Aritmatika (Suku Terakhir Diketahui)

Tentukan jumlah 7 suku pertama dari barisan aritmatika yang suku pertamanya 10 dan suku ke-7 adalah 40.

Pembahasan:

• Diketahui: a = 10, U7 = 40, n = 7
• Sn = n/2 x (a + Un)
• S7 = 7/2 x (10 + 40)
• S7 = 3,5 x 50 = 175

Jadi, jumlah 7 suku pertama barisan tersebut adalah 175.

Soal 3: Rumus Sn Aritmatika (Mencari Sn dari Un yang Diketahui)

Diketahui deret aritmatika dengan suku ketiga = 24 dan suku keenam = 36. Berapa jumlah 15 suku pertama?

Pembahasan:

• U3 = a + 2b = 24 ... (i)
• U6 = a + 5b = 36 ... (ii)
• Eliminasi: 3b = 12, maka b = 4
• Substitusi ke (i): a + 8 = 24, maka a = 16
• S15 = 15/2 x (2(16) + (15 - 1) x 4)
• S15 = 7,5 x (32 + 56) = 7,5 x 88 = 660

Jadi, jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah 660.

Soal 4: Rumus Sn Geometri

Hitunglah jumlah deret geometri 2 + 4 + 8 + ... + 64.

Pembahasan:

• Diketahui: a = 2, r = 4/2 = 2
• Cari n terlebih dahulu: Un = a x r^(n-1) -> 64 = 2 x 2^(n-1) -> 32 = 2^(n-1) -> n-1 = 5 -> n = 6
• Sn = a x (r^n - 1) / (r - 1) [karena r > 1]
• S6 = 2 x (2^6 - 1) / (2 - 1) = 2 x 63 / 1 = 126

Jadi, jumlah deret geometri tersebut adalah 126.

Soal 5: Hubungan Un dan Sn

Diketahui rumus Un suatu barisan aritmatika adalah Un = 6n - 2. Tentukan rumus Sn.

Pembahasan:

• Cari a: U1 = 6(1) - 2 = 4, maka a = 4
• Cari b: U2 = 6(2) - 2 = 10, maka b = 10 - 4 = 6
• Sn = n/2 x (2(4) + (n-1) x 6) = n/2 x (8 + 6n - 6) = n/2 x (6n + 2) = 3n^2 + n

Jadi, rumus Sn-nya adalah Sn = 3n^2 + n.

Perlu diingat bahwa hubungan antara Un dan Sn juga dapat digunakan secara terbalik, yaitu Un = Sn - S(n-1). Rumus ini sangat berguna ketika soal memberikan informasi Sn dan meminta kita mencari suku tertentu. Latihan soal-soal seperti di atas secara rutin akan membantu menguasai berbagai tipe rumus matematika dengan lebih percaya diri.

Baca juga: Viral Rumus Matematika Rumit untuk Tebak Tinggi Badan

Rumus Sn bukan sekadar formula di atas kertas. Dalam praktiknya, konsep penjumlahan deret memiliki peran penting di berbagai bidang kehidupan. Menemukan jumlah suatu barisan membantu orang memecahkan berbagai masalah dunia nyata, mulai dari memperkirakan biaya atau pendapatan dalam bisnis, hingga menghitung tarif taksi yang merupakan bentuk penjumlahan deret aritmatika.

Berikut beberapa contoh penerapan rumus Sn yang relevan dengan kehidupan sehari-hari:

1. Perencanaan tabungan: Jika seseorang menabung dengan jumlah yang meningkat secara tetap setiap bulan, total tabungan selama periode tertentu dapat dihitung dengan rumus Sn aritmatika. Misalnya, menabung Rp 100.000 di bulan pertama dan menambah Rp 50.000 setiap bulan berikutnya.
2. Cicilan bertahap: Skema angsuran yang naik secara teratur setiap periode dapat dihitung menggunakan deret aritmatika untuk mengetahui total pembayaran.
3. Bunga majemuk: Perhitungan ini digunakan untuk menghitung tingkat bunga tahunan dari sebuah pinjaman, seperti pinjaman hipotek. Pertumbuhan investasi dengan bunga majemuk mengikuti pola deret geometri.
4. Prediksi produksi: Perusahaan yang meningkatkan produksi secara konstan setiap tahun dapat menggunakan rumus Sn untuk memperkirakan total output selama beberapa tahun ke depan.
5. Konstruksi bangunan: Menghitung jumlah batu bata untuk membuat tangga atau piramida yang tiap tingkatnya berbeda jumlahnya secara teratur.
6. Pertumbuhan populasi: Populasi bakteri yang berlipat ganda dalam interval waktu tetap membentuk barisan geometri, dan total populasi kumulatifnya dihitung dengan rumus Sn geometri.
7. Penyusutan nilai aset: Nilai kendaraan atau peralatan yang menyusut dengan rasio tetap setiap tahun dapat dianalisis menggunakan konsep deret geometri.

Kemampuan mengaplikasikan rumus Sn dalam konteks nyata melatih pola pikir analitis dan kemampuan hitung yang dibutuhkan di berbagai profesi. Dari perencanaan keuangan hingga riset ilmiah, rumus ini terbukti menjadi alat bantu yang sangat praktis.

Baca juga: 7 Meme Rumus Matematika Bergambar Ini Kocak

Apa perbedaan antara Un dan Sn dalam barisan dan deret?

Un adalah rumus untuk mencari nilai suku ke-n dalam suatu barisan, sedangkan Sn adalah rumus untuk menghitung jumlah n suku pertama dari suatu deret. Misalnya, pada barisan 2, 5, 8, 11, maka U4 = 11 (nilai suku keempat), sedangkan S4 = 2 + 5 + 8 + 11 = 26 (jumlah empat suku pertama). Keduanya saling berkaitan melalui hubungan Un = Sn - S(n-1), yang artinya suku ke-n dapat dicari dengan mengurangkan Sn dengan S(n-1).

Kapan menggunakan rumus Sn yang pertama dan kapan menggunakan yang kedua?

Rumus Sn = n/2 x (2a + (n-1)b) digunakan ketika suku terakhir (Un) belum diketahui, sedangkan rumus Sn = n/2 x (a + Un) digunakan ketika suku ke-n sudah diketahui. Pilihan rumus tergantung pada informasi yang tersedia dalam soal. Jika soal memberikan suku pertama dan suku terakhir, gunakan rumus kedua karena lebih praktis. Jika yang diketahui hanya suku pertama dan beda, gunakan rumus pertama.

Apakah rumus Sn hanya berlaku untuk deret aritmatika saja?

Tidak. Rumus Sn berlaku baik untuk deret aritmatika maupun deret geometri, hanya saja formulanya berbeda. Untuk deret aritmatika, rumusnya melibatkan beda (b), sedangkan untuk deret geometri melibatkan rasio (r). Satu rumus digunakan untuk menghitung jumlah n suku pertama deret geometri hingga, dan rumus lainnya digunakan untuk menghitung jumlah deret geometri tak hingga. Dengan mengenali jenis deret yang dihadapi, kita bisa memilih rumus Sn yang tepat untuk menyelesaikan soal.